Question

7．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），且橢圓上存在點(diǎn)P使得直線PF₁與直線PF₂垂直．
（1）求橢圓離心率e的取值范圍；
（2）若直線PF₁與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且|QF₂|=5$\sqrt{2}$時(shí)，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）由△PF₁F₂是直角三角形，可得以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，可得c≥b，利用a，b，c的關(guān)系及其離心率計(jì)算公式即可得出．
（2）由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c，點(diǎn)P（0，b），因此直線PQ方程為：y=x+c，則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，聯(lián)立解得Q$（-\frac{4}{3}c，-\frac{1}{3}c）$．利用|QF₂|=$5\sqrt{2}$，解得c即可得出．

解答 解：（1）∵△PF₁F₂是直角三角形，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，∴c≥b，
∴c²≥a²-c²，解得$\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{c}{a}$，又$\frac{c}{a}$＜1，
∴e∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
（2）由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²，b=c．
∴|OP|=b，
設(shè)點(diǎn)P（0，b），直線PQ的斜率k=1，設(shè)直線PQ的方程為：y=x+c，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=c}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}c}\\{y=-\frac{1}{3}c}\end{array}\right.$，
∴Q$（-\frac{4}{3}c，-\frac{1}{3}c）$．
∴|QF₂|=$\sqrt{（c+\frac{4}{3}c）^{2}+（\frac{1}{3}c）^{2}}$=$5\sqrt{2}$，解得c=3，
∴b=3，a²=18，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及圓的相交問題、兩點(diǎn)之間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．