Question

19．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為邊作正三角形F₁MF₂，如果線段MF₁的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則該雙曲線的離心率e等于（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2

Answer 1

分析 首先判斷P在y軸上，設(shè)|F₁F₂|=2c，則M（0，$\sqrt{3}$ c），求出邊MF₁的中點(diǎn)，代入漸近線方程可得雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，
以線段F₁F₂為邊作正△MF₁F₂，則M在y軸上，不妨看作在y軸正半軸上，
可設(shè)|F₁F₂|=2c，則M（0，$\sqrt{3}$c），
又F₁（-c，0），則邊MF₁的中點(diǎn)為（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入直線y=$-\frac{a}x$，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}c=-\frac{a}•（-\frac{c}{2}）$，
得b=$\sqrt{3}a$，兩邊平方得：b²=c²-a²=3a²，
即c²=4a²，解得e=2（e＞1）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．