Question

15．已知函數(shù)f（x）=-sin²x+msinx+2，當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)函數(shù)有最大值為$\frac{3}{2}$，求此時(shí)m的值．

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sinx的范圍，再利用函數(shù)的最大值為$\frac{3}{2}$、二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得m的值．

解答 解：當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]，
函數(shù)f（x）=-sin²x+msinx+2=-${（sinx-\frac{m}{2}）}^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$+2，
若$\frac{m}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即m＜1，則當(dāng)sinx=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$m+2=$\frac{3}{2}$，∴m=-$\frac{1}{2}$．
若-$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2}$≤1，即-1≤m≤2，則當(dāng)sinx=$\frac{m}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為$\frac{{m}^{2}}{4}$+2=$\frac{3}{2}$，∴m無解．
若$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2，則當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為-1+m+2=$\frac{3}{2}$，∴m=$\frac{1}{2}$（不合題意，舍去）．
綜上，m=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．