Question

甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設每人面試合格的概率都是

1

2

，且面試是否合格互不影響．求：
（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率；
（Ⅱ）簽約人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知A，B，C相互獨立，且P（A）=P（B）=P（C）=

1

2

，分析可得“至少有1人面試合格”與“三人面試全不合格”為對立事件，由對立事件的概率，計算可得答案；
（Ⅱ）根據題意，易得 ξ 的可能取值為0，1，2，3，分別計算其概率可得分布列，由期望的計算公式，結合分布列計算可得ξ的期望．

解答：解：（Ⅰ）用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知A，B，C相互獨立，
且P（A）=P（B）=P（C）=

1

2

．
至少有1人面試合格的概率是1-P(

.

A

.

B

.

C

)=1-P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=1-(

1

2

)3=

7

8

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，
P(ξ=0)=P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)+P(

.

A

.

B

.

C

)=P(

.

A

)P(B)P(

.

C

)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(C)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)
=(

1

2

)3+(

1

2

)3+(

1

2

)3=

3

8

．
P(ξ=1)=P(A

.

B

C)+P(AB

.

C

)+P(A

.

B

.

C

)=P(A)P(

.

B

)P(C)+P(A)P(B)P(

.

C

)+P(A)P(

.

B

)P(

.

C

)
=(

1

2

)3+(

1

2

)3+(

1

2

)3=

3

8

．
P（ξ=2）=P（

.

A

•B•C）=

1

8

P(ξ=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=

1

8

．
所以，ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
p	3 8	3 8	1 8	1 8

ξ的期望Eξ=0×

3

8

+1×

3

8

+2×

1

8

+3×

1

8

=1．

點評：本題考查對立事件、相互獨立事件的概率計算與由分布列求期望的方法，關鍵是明確事件之間的關系，準確求得概率．