Question

3．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinωx-cosωx，a），其中（x∈R，ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期為π，最大值為3．
（1）求ω和常數(shù)a的值；
（2）求當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式可得f（x），利用其周期性與最大值即可得出．
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2cosωx$（\sqrt{3}sinωx-cosωx）$+a
=$2\sqrt{3}sinωxcosωx-2co{s}^{2}2ωx$+a
=$\sqrt{3}sin2ωx$-cos2ωx-1+a
=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$+a-1．
由T=$\frac{2π}{2ω}$=π，得ω=1．
又當(dāng)$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$=1時(shí)，y_max=2+a-1=3，解得a=2．
（2）由（1）知：f（x）=2$sin（2x-\frac{π}{6}）$+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]
∴f（x）∈[0，3]，
∴所求的值域?yàn)閇0，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．