Question

已知函數f（x）=alnx，g（x）=x²．其中x∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線相互平行，求兩平行直線間的距離；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）-1對任意x＞0恒成立，求實數a的值；
（Ⅲ）當a＜0時，對于函數h（x）=f（x）-g（x）+1，記在h（x）圖象上任取兩點A、B連線的斜率為k_AB，若|k_AB|≥1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數恒成立問題

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數，可得切線方程，利用平行線間的距離公式，可求兩平行直線間的距離；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）+1，確定其單調性，分類討論，即可求實數a的值；
（Ⅲ）|h（x₁）-h（x₂）|≥|x₁-x₂|等價于h（x₁）-h（x₂）≥x₂-x₁，即h（x₁）+x₁≥h（x₂）+x₂，構造H（x）=h（x）+x=alnx-x²+x+1，H（x）在（0，+∞）上是減函數，可得-2x²+x+a≤0在x＞0時恒成立，分離參數，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x

，g′(x)=2x，依題意得：a=2； …（2分）
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線為2x-y-2=0，曲線y=g（x）在x=1處的切線方程為2x-y-1=0．…（3分）
∴兩直線間的距離為

|-2+1|

5

=

5

5

…（4分）
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）+1，則h′(x)=

a

x

-2x=

a-2x2

x

當a≤0時，注意到x＞0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）單調遞減，…（5分）
又h（1）=0，故0＜x＜1時，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）-1，與題設矛盾．…（6分）
當a＞0時，h′(x)=

2

x

(

a 2

+x)(

a 2

-x)(x＞0)
當0＜x＜

a 2

，h′（x）＞0，當x＞

a 2

時，h′（x）＜0
∴h（x）在（0，

a 2

）上是增函數，在（

a 2

，+∞）上是減函數，…（8分）
∴h（x）≤f(

a 2

)=

a

2

ln

a

2

-

a

2

+1
∵h（1）=0，又當a≠2時，h(

a 2

)＞h(1)=0與h(

a 2

)≤0不符．
∴a=2．…（9分）
（Ⅲ）當a＜0時，由（2）知h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是減函數，
不妨設0＜x₁≤x₂，則|h（x₁）-h（x₂）|=h（x₁）-h（x₂），|x₁-x₂|=x₂-x₁，…（10分）
∴|h（x₁）-h（x₂）|≥|x₁-x₂|等價于h（x₁）-h（x₂）≥x₂-x₁，即h（x₁）+x₁≥h（x₂）+x₂，…（11分）
令H（x）=h（x）+x=alnx-x²+x+1，H（x）在（0，+∞）上是減函數，
∵H′(x)=

a

x

-2x+1=

-2x2+x+a

x

（x＞0），…（12分）
∴-2x²+x+a≤0在x＞0時恒成立，
∴a≤（2x²-x）_min …（13分）
又x＞0時，（2x²-x）_min=-

1

8

∴a≤-

1

8

，
又a＜0，∴a的取值范圍是(-∞，-

1

8

]．…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．