Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在[0，π]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角差的正弦公式化簡f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性、最值，求得f（x）的最小正周期和最大值．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的最值求得f（x）在[0，π]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
故它的最小正周期為T=$\frac{2π}{1}$=2π，它的最大值為2．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅲ）在[0，π]上，x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故函數(shù)的最小值為2•（-$\frac{1}{2}$）=-1．

點評 本題主要考查兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，屬于基礎(chǔ)題．