Question

4．點(diǎn)P是圓O：x²+y²=4上一點(diǎn)，P在y軸上的射影為Q，點(diǎn)G是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)G的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）動直線l與圓O交于M，N兩點(diǎn)，與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)鈍角△OMN的面積為$\frac{8}{5}$時，∠EOF的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，y），結(jié)合題意求出其軌跡方程即可；
（Ⅱ）設(shè)O到直線l的距離為d，根據(jù)三角形的面積求出d的值，分別設(shè)出E、F的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的結(jié)論公式以及向量的垂直關(guān)系判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{2}}\\{y{=y}_{0}}\\{{{x}_{0}}^{2}{{+y}_{0}}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去x₀，y₀得$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1，即為所求軌跡C的方程．
（Ⅱ）設(shè)O到直線l的距離為d，則|AB|=2$\sqrt{4{-a}^{2}}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{4{-a}^{2}}$×d=$\frac{8}{5}$，解得d²=$\frac{16}{5}$或$\frac{4}{5}$，
∵△OMN為鈍角三角形（d＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$r），
∴d²=$\frac{4}{5}$，即d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
（1）當(dāng)l⊥x軸時，|x₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，代入C方程，得|y₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
此時|x₁|=|y₁|，∴∠EOF=90°；
（2）當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)直線l：y=kx+m，
原點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即5m²=4k²+4（*），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{4}{+x}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y可得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=-\frac{2km}{4{+k}^{2}}}\\{{{x}_{1}x}_{2}=\frac{{m}^{2}-4}{4{+k}^{2}}}\\{△=16{（k}^{2}+4{-m}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=x₁x₂+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{{5m}^{2}-{4k}^{2}-4}{4{+k}^{2}}$，
將（*）式代入上式，得x₁x₂+y₁y₂=0，即$\overrightarrow{OE}$⊥$\overrightarrow{OF}$，即∠EOF=90°．
由（1）、（2）可得，∠EOF是定值，且∠EOF=90°．

點(diǎn)評 本小題考查相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程、三角形面積公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．