Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在$x=-\frac{2}{3}$與x=1處都取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若對x∈R，f（x）有三個零點，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)的零點的個數(shù)得到關(guān)于c的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=3x²+2ax+b
由已知有 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-\frac{2}{3}）=0}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2；
（2）由（1）得：f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
f′（x）=由f'（x）＞0得x＞1或x＜-$\frac{2}{3}$，
由f'（x）＜0得-$\frac{2}{3}$＜x＜1，
故當x=-$\frac{2}{3}$時，f（x）有極大值c+$\frac{22}{27}$，
當x=1時，f（x）有極小值c-$\frac{3}{2}$，
若對x∈R，f（x）有三個零點，
則$\left\{\begin{array}{l}{c+\frac{22}{27}＞0}\\{c-\frac{3}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{22}{27}$＜c＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．