Question

7．已知函數(shù)f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$+sinx．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得$f（x）=cosx+sinx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域．
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 （本題滿分14分）
解：（1）∵f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$+sinx，
∴$f（x）=cosx+sinx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：$2kπ-\frac{3π}{4}≤x≤2kπ+\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$2kπ-\frac{3π}{4}$，$2kπ+\frac{π}{4}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．