Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a•2x-1

1+2x

是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并加以證明；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)f（-x）=-f（x），整理即可得到結(jié)論．
（2）直接根據(jù)單調(diào)性的證明過程證明即可．
（3）先對原函數(shù)分離常數(shù)，再借助于指數(shù)函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．（也可以采用反函數(shù)的思想）．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），
即

a•2-x-1

1+2-x

=-

a•2x-1

1+2x

，即

a-2x

1+2x

=

1-a•2x

1+2x

即（a-1）（2^x+1）=0
∴a=1
（或者∵f（x）是R上的奇函數(shù)∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴

a•20-1

1+20

=0．，解得a=1，然后經(jīng)檢驗(yàn)滿足要求．）
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

設(shè)x₁＜x₂∈R，則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上是增函數(shù)
（3）f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1
所以f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

的值域?yàn)椋?1，1）
或者可以設(shè)y=

2x-1

2x+1

，從中解出2^x=

1+y

1-y

，所以

1+y

1-y

＞0，所以值域?yàn)椋?1，1）

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．