Question

（本小題滿分12分） 設為數(shù)列的前項和，且對任意時，點都在函數(shù)的圖象上。

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設，求數(shù)列的前項和的最大值。

 

Answer 1

（1） ；（2）數(shù)列的前項和的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）將點的坐標代入函數(shù)得，當時，， 將兩等式相減得： ，即，這是一個公比為，首項為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得其通項公式.（2）據(jù)（1）可得 ，從而得，顯然數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，且單調遞減，所以將前面為正的所有項相加即為和的最大值.

試題解析：（1）因為點都在函數(shù)的圖象上．

所以， 1分

當時，，， 2分

當時，， 3分

所以 ， 4分

，

是公比為，首項為的等比數(shù)列，

； 5分

（2）因為是公比為，首項為的等比數(shù)列，

所以， 7分

∴， 8分

∵，

∴數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，且單調遞減 9分

由,

所以，即， 10分

∴， 11分

數(shù)列的前n項和的最大值為． 12分

考點：1、等差數(shù)列與等比數(shù)列；2、最值問題.