已知x＞0，y＞0，x+y=1，則
x2
x+2
+
y2
y+1
的最小值為
 
．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：綜合題,轉(zhuǎn)化思想,不等式的解法及應(yīng)用
分析：x＞0，y＞0，x+y=1，則
x2
x+2
+
y2
y+1
=
x2
x+2
+
(1-x)2
2-x
，t=2-x，x=2-t
x2
x+2
+
(1-x)2
2-x
轉(zhuǎn)化為t的式子，再利用不等式求解．
解答： 解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴
x2
x+2
+
y2
y+1
=
x2
x+2
+
(1-x)2
2-x
，
 令 t=2-x，則x=2-t
 
x2
x+2
+
y2
y+1
=
(2-t)2
4-t
+
(t-1)2
t
=
4
4-t
+
1
t
-2=
3t+4
4t-t2
-2，

 設(shè)m=3t+4，則t=
m-4
3
，代入上式可得：
m
m-4
3
.
16-m
3
=
9
-m-
64
m
+20
-2，

∵-m-
64
m
≤-16（m=8等號(hào)成立），
∴-m-
64
m
+20≤-16+20=4，
9
-m-64m+20
≥
9
4


9
-m-64m+20
-2≥
9
4
-2=
1
4
（m=8等號(hào)成立），此時(shí)t=
4
3
，x=
2
3
，y=
1
3
符合題意，

 故答案為：
1
4
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用不等式解決分式類型的函數(shù)，兩次換元法構(gòu)造，難度較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

按照程序框圖（如圖）執(zhí)行，第3個(gè)輸出的數(shù)是（　�。�
A、3B、4C、5D、6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，并且經(jīng)過定點(diǎn)P（
3
，
1
2
）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）問是否存在直線y=-x+m，使直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，滿足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等比數(shù)列{an}中，若a1=1，a4=27，求：
（1）a3
（2）數(shù)列通項(xiàng)公式an．
（3）數(shù)列{an}的前5項(xiàng)的和S5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=
2an，(0≤an＜
1
2
)
2an-1，   (
1
2
≤an＜1)
，若a1=
6
7
，則a2007=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
1+ln(x+1)
x
的導(dǎo)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且對任何x∈R，都有f{f[f（x）]}=x，則f（100）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列bn=
2n
22n+3•2n+2
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用二分法求函數(shù)f（x）=x3+x2-2x-1的一個(gè)點(diǎn)，可選作初始區(qū)間的是
 
．

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同步練習(xí)冊答案