Question

1．某公司對新招聘的員工張某進行綜合能力測試，共設置了A、B、C三個測試項目．假定張某通過項目A的概率為$\frac{1}{2}$，通過項目B、C概率均為a（0＜a＜1），且這三個測試項目能否通過相互獨立．
（Ⅰ）用隨機變量X表示張某在測試中通過的項目個數(shù)，當$a=\frac{1}{3}$時，求X的概率分布和數(shù)學期望；
（Ⅱ）若張某通過一個項目的概率最大，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用相互獨立事件的概率公式計算X的分布列，
（II）用a表示出各種情況的概率，列不等式組求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）隨機變量X的可能取值為0、1、2、3．
當$a=\frac{1}{3}$時，P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；
P（X=1）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×{C}_{2}^{1}$=$\frac{4}{9}$；
P（X=2）$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}{×C}_{2}^{1}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{18}$；
P（X=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{18}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

X的數(shù)學期望為$E（X）=0×\frac{2}{9}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{5}{18}+3×\frac{1}{18}=\frac{7}{6}$．
（Ⅱ）$P（X=0）=（1-\frac{1}{2}）C_2^0•{（1-a）^2}=\frac{1}{2}{（1-a）^2}$，
$P（X=1）=\frac{1}{2}C_2^0•{（1-a）^2}+$$（1-\frac{1}{2}）C_2^1•a•（1-a）=\frac{1}{2}（1-{a^2}）$，
$P（X=2）=\frac{1}{2}C_2^1•a•（1-a）+（1-\frac{1}{2}）C_2^2•{a^2}=\frac{1}{2}（2a-{a^2}）$，
$P（X=3）=\frac{1}{2}C_2^2•{a^2}=\frac{1}{2}{a^2}$，
∴P（X=1）-P（X=0）=a（1-a），
$P（X=1）-P（X=2）=\frac{1-2a}{2}$，
$P（X=1）-P（X=3）=\frac{{1-2{a^2}}}{2}$，由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{a（1-a）≥0}\\ \begin{array}{l}\frac{1-2a}{2}≥0\\ \frac{{1-2{a^2}}}{2}≥0\end{array}\end{array}}\right.$，
又0＜a＜1，∴$0＜a≤\frac{1}{2}$，
即a的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}]$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題．