Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（Ⅰ）求圓心C的坐標(biāo)及半徑r的大小；
（Ⅱ）已知不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（Ⅲ）從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|MP|=|OP|，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑；
（Ⅱ）設(shè)出直線的截距式方程，整理為一般式，由圓心到切線的距離等于半徑列式求得a的值，則切線方程可求；
（Ⅲ）由切線垂直于過切點(diǎn)的半徑及|MP|=|OP|列式求點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）由圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，得：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圓心坐標(biāo)C（-1，2），半徑r=

2

；  
（Ⅱ）∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，
設(shè)直線方程x+y=a，
∵圓C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圓心C（-1，2）到切線的距離等于圓半徑

2

，
即：

|-1+2-a|

2

=

2

∴a=-1或a=3，
所求切線方程為：x+y+1=0或x+y-3=0；
（Ⅲ）∵切線PM與半徑CM垂直，設(shè)P（x，y）
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²  
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²
所以點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+3=0．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．