Question

已知函數f（x）=e^2x-1-2x-kx²
（Ⅰ）當k=0時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求k的取值范圍．
（Ⅲ）試比較

e2n-1

e2-1

與

2n3

3

+

n

3

（n為任意非負整數）的大小關系，并給出證明．

Answer 1

（Ⅰ）當k=0時，f（x）=e^2x-1-2x，
f^′（x）=2e^2x-2，
令f^′（x）＞0，則2e^2x-2＞0，解得：x＞0．
令f^′（x）＜0，則2e^2x-2＜0，解得：x＜0．
所以，函數f（x）=e^2x-1-2x的單調增區(qū)間為（0，+∞）．
單調減區(qū)間為（-∞，0）．
（Ⅱ）由函數f（x）=e^2x-1-2x-kx²，
則f^′（x）=2e^2x-2kx-2=2（e^2x-kx-1），
令g（x）=e^2x-kx-1，
則g^′（x）=2e^2x-k．
由x≥0，
所以，①當k≤2時，g^′（x）≥0，g（x）為增函數，而g（0）=0，
所以g（x）≥0，即f^′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數，
而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
②當k＞2時，令g^′（x）＜0，即2e^2x-k＜0，則0≤x＜

1

2

ln

k

2

．
即g（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上為減函數，而g（0）=0，所以，g（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上小于0．
即f^′（x）＜0，所以，f（x）在[0，

1

2

ln

k

2

）上為減函數，而f（0）=0，故此時f（x）＜0，不合題意．
綜上，k≤2．
（Ⅲ）

e2n-1

e2-1

≥

2n3

3

+

n

3

．
事實上，由（Ⅱ）知，f（x）=e^2x-1-2x-2x²在[0，+∞）上為增函數，
所以，e^2x≥2x²+2x+1=x²+（x+1）²，
則e⁰≥1²
e²≥1²+2²
e⁴≥2²+3²
e⁶≥3²+4²
…
e^2（n-1）≥（n-1）²+n²
累加得：1+e²+e⁴+e⁶+…+e^2（n-1）≥2（1²+2²+3²+…+（n-1）²）+n²．
即

1-e2n

1-e2

≥2×

(n-1)n(2n-1)

6

+n2．
所以，

e2n-1

e2-1

≥

2n3

3

+

n

3

．