已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）證明：對?n∈N+，不等式恒成立．
【答案】分析：（1）先求函數(shù)的定義域，研究在（0，+∞）上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，往往求出的極大值就是最大值．
（2）要證不等式即證=，所以只需證明lnx＜x（x-1），由第一問可知f（x）≤1，結論很快得證．
解答：解：（1）∵
令f'（x）=0得x2=1-lnx
顯然x=1是上方程的解．
令g（x）=x2+lnx-1，x∈（0，+∞）
則，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)，
∴x=1是方程f'（x）=0的唯一解．（4分）
∵當0＜x＜1時-1＞0，
當x＞1時f'（x）＜0．∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當x=1時函數(shù)有最大值f（x）max=f（1）=-1．（6分）
（2）由（1）知當x∈（0，+∞）時，f（x）max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有，
對任意的x∈（0，+∞）恒有l(wèi)nx≤x（x-1）（8分）
∵
∴（11分）
即對?n∈N*，不等式恒成立（12分）
點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，以及以不等式為載體考查導數(shù)的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的圖象和y軸交于（0，1）且y軸右側的第一個最大值、最小值點分別為P（x0，2）和Q（x0+3π，-2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式及x0；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）如果將y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的
1
3
（縱坐標不變），然后再將所得圖象沿x軸負方向平移
π
3
個單位，最后將y=f（x）圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的
1
2
（橫坐標不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象，寫出函數(shù)y=g（x）的解析式并給出y=|g（x）|的對稱軸方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ） （ A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π ） 在x=
π
12
時取得最大值4．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，
π
3
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù) （1）求函數(shù)在區(qū)間[1，]上的最大值、最小值；

（2）求證：在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方；

（3）設函數(shù)，求證：≥。（）

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科目：高中數(shù)學 來源：2008-2009學年湖北省仙桃一中高三（上）第二次段考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最小值；
（2）在給出的直角坐標系中，用描點法畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省棗莊市高三上學期期末檢測理科數(shù)學 題型：解答題

（本題滿分12分）

已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的極值點；

（2）若直線過點（0，—1），并且與曲線相切，求直線的方程；

（3）設函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值.（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

 

 

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