Question

已知函數(shù)在x=1處取得極值2．
（I） 求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（II）若f（x）的定義域、值域均為[m，n]，（0≤m＜n）試求所有滿足條件的區(qū)間[m，n]；
（Ⅲ）若直線l與的圖象切于點(diǎn)P（x，y），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在x=1處取得極值2，可得，從而得解．
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，+∞]上為減函數(shù)，分類討論：0≤m＜n≤1；1≤m＜n；0≤m＜1＜n，從而可求滿足條件的區(qū)間．
（Ⅲ）求導(dǎo)函數(shù)，由條件知，過f（x）的圖形上一點(diǎn)P的切線l的斜率k為：=，進(jìn)而尅去直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（I）因…（2分）
而函數(shù)在x=1處取得極值2
所以 ⇒⇒
所以 為所求                             …（4分）
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，+∞]上為減函數(shù)，
（1）若0≤m＜n≤1，則，無解．…（8分）
（2）若1≤m＜n，則，無解．…（10分）
（3）若0≤m＜1＜n，則n=2，而，所以，解得m=0．
綜合知，滿足條件的區(qū)間為[0，2]．…（12分）
（Ⅲ）
由條件知，過f（x）的圖形上一點(diǎn)P的切線l的斜率k為：=…（15分）
令，則t∈（0，1]
此時，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)知：
當(dāng)時，k，
當(dāng)t=1時，k_max=4．
所以，直線l的斜率k的取值范圍是．         …（18分）
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義．