Question

在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（-2，0），B（2，0），點(diǎn)P為動點(diǎn)，且直線AP與直線BP的斜率之積為．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)D（1，0）的直線l交軌跡C于不同的兩點(diǎn)M，N，△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出△MON的面積的最大值及相應(yīng)的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）根據(jù)直線AP與直線BP的斜率之積為，代入斜率公式，整理可得動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)及直線l的方程為x=ny+1，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理求出y₁+y₂，y₁•y₂的值，根據(jù)弦長公式求出MN長，求出△MON的面積的表達(dá)式，分析出對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案．
解答：解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）
∵A（-2，0），B（2，0），直線AP與直線BP的斜率之積為．
∴•=（x≠±2）
整理得P點(diǎn)的軌跡方程為（x≠±2）
（2）設(shè)直線l的方程為x=ny+1
聯(lián)立方程x=ny+1與（x≠±2）得
（3n²+4）y²+6ny-9=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=，y₁•y₂=
△MON的面積S=•|OP|•|y₁-y₂|====
令t=，則t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是單調(diào)遞增
∴當(dāng)t=1時，y=3t+取最小值4
此時S取最大值
此時直線的方程為x=1
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是軌跡方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，熟練掌握設(shè)而不求，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，弦長公式等一系列處理直線與圓錐曲線關(guān)系的方法和技巧是解答的關(guān)鍵．