Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，點D是AB的中點．
（1）求證：CD⊥平面ABB₁A₁
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱錐B-CDB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC=2，點D是AB的中點，可得CD⊥AB．由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AA₁⊥CD，即可證明；
（2）點O為矩形CBB₁C₁的對角線交點，可得：C₁O=OB，利用三角形中位線定理可得：AC₁∥OD，利用線面平行的判定定理可得：AC₁∥平面CDB₁．
（3）由AC=BC=2，AC⊥BC，點D是AB的中點．可得S_△CDB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×AC×BC$．利用三棱錐B-CDB₁的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDB}$×B₁B即可得出．

解答 （1）證明：∵AC=BC=2，點D是AB的中點．∴CD⊥AB．
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥CD，
又AB∩AA₁=A，∴CD⊥平面平面ABB₁A₁．
（2）證明：∵點O為矩形CBB₁C₁的對角線交點，
∴C₁O=OB，
又AD=DB，
∴AC₁∥OD，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）解：∵AC=BC=2，AC⊥BC，點D是AB的中點．
∴S_△CDB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×AC×BC$=1．
∴三棱錐B-CDB₁的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDB}$×B₁B
=$\frac{1}{3}×1×2$
=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了空間線面位置關系、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．