Question

1．如圖，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右頂點為A（2，0），左、右焦點分別為F₁、F₂，過點A且斜率為$\frac{1}{2}$的直線與y軸交于點P，與橢圓交于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為點F₁．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點P的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N不與A，B重合），若S_△PAM=6S_△PBN，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當$k=\frac{1}{2}$時，BF₁⊥x軸，求出$B（-c，-\frac{b^2}{a}）$，列出方程組，求出a，b即可得到橢圓的標準方程．
（Ⅱ）通過民間的比推出$\overrightarrow{PM}=-3\overrightarrow{PN}$．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)MN方程為y=kx-1，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理轉(zhuǎn)化情況直線的斜率，求出直線方程．

解答 解：（Ⅰ）當$k=\frac{1}{2}$時，BF₁⊥x軸，得到點$B（-c，-\frac{b^2}{a}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ \frac{b^2}{a（a+c）}=\frac{1}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$，所以橢圓C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）因為$\frac{{{S_{△PAM}}}}{{{S_{△PBN}}}}=\frac{{\frac{1}{2}PA•PM•sin∠APM}}{{\frac{1}{2}PB•PN•sin∠BPN}}=\frac{2•PM}{1•PN}=\frac{6}{1}⇒\frac{PM}{PN}=3$，所以$\overrightarrow{PM}=-3\overrightarrow{PN}$．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\overrightarrow{PM}=（{x_1}，{y_1}+1），\overrightarrow{PN}=（{x_2}，{y_2}+1）$，有$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-3{x_2}\\{y_1}+1=-3（{y_2}+1）\end{array}\right.$．
由（Ⅰ）可知P（0，-1），設(shè)MN方程為y=kx-1，
聯(lián)解方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得：（4k²+3）x²-8kx-8=0．
由韋達定理可得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{8k}{{4{k^2}+3}}\\{x_1}•{x_2}=\frac{-8}{{4{k^2}+3}}\end{array}\right.$，將x₁=-3x₂代入可得$\left\{\begin{array}{l}-2{x_2}=\frac{8k}{{4{k^2}+3}}\\ 3x_2^2=\frac{8}{{4{k^2}+3}}\end{array}\right.$，
即$3{（\frac{-4k}{{4{k^2}+3}}）^2}=\frac{8}{{4{k^2}+3}}$．
所以${k^2}=\frac{3}{2}⇒k=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，即直線l₂的方程為$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}x-1$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．