Question

在三棱錐A-BCD中，AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AB=AC=1，AD=2，E、F分別是BC、BD的中點．
（1）求證：BC⊥面AED；
（2）求A到面BCD的距離；
（3）求二面角C-AE-F的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由于E是BC的中點，利用等腰三角形的性質(zhì)可得AE⊥BC．再利用三垂線定理可得BC⊥DE．利用線面垂直的判定定理就看得出．
（2）利用“等積變形”即可得出；
（3）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩角平面的法向量的夾角公式即可得出二面角的平面角．

解答： （1）證明：∵AB=AC=1，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，
又∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC=A．
∴AD⊥平面ABC．
∴BC⊥DE．
∵AE∩DE=E，∴BC⊥面AED．
（2）∵VA-BCD=

1

3

×

1

2

×1×2=

1

3

，S△BCD=

1

2

BC×DE=

2

2

×

5- 1 2

=

3

2

，
設(shè)A到面BCD的距離為h，∴

1

3

S△BCD•h=

1

3

．解得h=

2

3

．
∴h=

2

3

．
（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），E(

1

2

，

1

2

，0)，F(xiàn)(

1

2

，0，1)．
則

AF

=(

1

2

，0，1)，

AE

=(

1

2

，

1

2

，0)．
設(shè)平面AEF的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n AF = 1 2 x+z=0 n • AE = 1 2 x+ 1 2 y=0

，令z=-1，解得x=2，y=-2．
∴

n

=(2，-2，-1)．
可取平面ACE的法向量為

m

=(0，0，1)．則cos＜

m

，

n

＞=

n • m

| n | | m |

=

-1

9 ×1

=-

1

3

．
從圖中看到：二面角C-AE-F的平面角是鈍角，
∴二面角C-AE-F的大小為π-arccos

1

3

．

點評：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、三垂線定理、線面垂直的判定定理、“等積變形”、通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩角平面的法向量的夾角公式求出二面角的平面角等是解題的關(guān)鍵．