【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),直線與相交于不同的兩點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)若直線經(jīng)過點(diǎn),求的面積的最小值(為坐標(biāo)原點(diǎn));
(3)已知點(diǎn),直線經(jīng)過點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求證:.
【答案】(1);(2);(3)見解析
【解析】
(1)由題意方程求出右焦點(diǎn)坐標(biāo),即拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)一步可得拋物線方程;
(2)設(shè)出直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,化為關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求得|y1﹣y2|,代入三角形面積公式,利用二次函數(shù)求最值;
(3)分直線AB的斜率存在與不存在,證明有,可得CA⊥CB,又D為線段AB的中點(diǎn),則|AB|=2|CD|.
(1)∵橢圓的右焦點(diǎn)為,∴, ∴的方程為.
(2)(解法1)顯然直線的斜率不為零,設(shè)直線的方程為,
由,得,則,
∴當(dāng),即直線垂直軸時(shí),的面積取到最小值,最小值為.
(解法2)若直線的斜率不存在,由,得,
的面積,
若直線的斜率存在,不妨設(shè)直線的方程為,
由,得,,且,
,
即的面積的最小值為.
(3)(解法1)∵直線的斜率不可能為零,設(shè)直線方程為,
由得,∴,
,
∴
,即,
在中,為斜邊的中點(diǎn),所以.
(解法2)(前同解法1)
線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,
所以.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值;
(2)已知關(guān)于的不等式對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知直線、與平面、滿足,,,則下列命題中正確的是( )
A.是的充分不必要條件
B.是的充要條件
C.設(shè),則是的必要不充分條件
D.設(shè),則是的既不充分也不必要條件
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【題目】已知圓,橢圓()的短軸長等于圓半徑的倍,的離心率為.
(1)求的方程;
(2)若直線與交于兩點(diǎn),且與圓相切,證明:.
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【題目】某公司舉辦捐步公益活動,參與者通過捐贈每天的運(yùn)動步數(shù)獲得公司提供的牛奶,再將牛奶捐贈給留守兒童.此活動不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn),公司還獲得了相應(yīng)的廣告效益.據(jù)測算,首日參與活動人數(shù)為人,以后每天人數(shù)比前一天都增加,天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第天的水平,假設(shè)此項(xiàng)活動的啟動資金為萬元,每位捐步者每天可以使公司收益元(以下人數(shù)精確到人,收益精確到元).
(1)求活動開始后第天的捐步人數(shù),及前天公司的捐步總收益;
(2)活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余?
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【題目】已知函數(shù),函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),試用列舉法表示集合.
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【題目】將一顆均勻的骰子擲兩次,第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為,第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為,則方程組有唯一解的概率是___________.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),是曲線上的任意一點(diǎn),動點(diǎn)滿足
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)的動直線與點(diǎn)的軌跡方程交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn)(異于點(diǎn)),使得?若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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