Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，如圖，B是右頂點，F(xiàn)是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足：|

OA

|，|

OB

|，|

OF

|成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P
（1）求證：

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）若l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點E、D，求雙曲線離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過雙曲線方程求出漸近線方程，得到直線的斜率，求出P的坐標(biāo)，利用等差數(shù)列推出

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）利用l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點E、D，聯(lián)立方程組，通過兩點的橫坐標(biāo)的乘積小于0，推出雙曲線離心率e的取值范圍．

解答：解：（1）證明：雙曲線的漸近線為 y=±

b

a

x，F(xiàn)(c，0)，
∵過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，
∴直線l的斜率為：-

a

b

，∴直線l：y=-

a

b

(x-c)，
由

y=- a b (x-c) y= b a x

，可得P（

a2

c

，

ab

c

），
∵|

OA

|，|

OB

|，|

OF

|成等比數(shù)列，
所以xA•c=b2∴xA=

b2

c

，A(

a2

c

，0)，

PA

=(0，-

ab

c

)，

OP

=(

a2

c

，

ab

c

)，

FP

=(-

b2

c

，

ab

c

)，
所以

PA

•

OP

=-

a2b2

c2

，

PA

•

FP

=-

a2b2

c2

，
則

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）解：

y=- a b (x-c) b2x2-a2y2=a2b2

，
得(b2-

a4

b2

)x2+2

a4

b2

x-(

a4c2

b2

+a2b2)=0，
∵x₁x₂＜0，∴

-( a4c2 b2 +a2b2)

b2- a4 b2

＜0，
∴b²＞a²，則c²＞2a²，
∴e²＞2，
∴e＞

2

．

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．