已知空間4個球,它們的半徑分別為2,2,3,3,每個球都與其他三個球外切,另有一個小球與這4個球都外切,則這個小球的半徑為( 。
分析:設(shè)半徑為3的兩個球的球心分別為A、B,半徑為2的兩個球的球心分別為C、D,與它們都相切的小球球心為O,半徑為r.得如圖的四棱錐D-ABCD,其中AB=6,CD=4,AD=AC=BD=BC=5,連接OA、OB、OC、OD,取AB、CD中點F、G,連接OF、OG.可證出FG是異面直線AB、CD的公垂線段且F、O、G三點共線,算出FG=2
3
,利用OF+OG=FG列出關(guān)于r的方程,解之即可得到r的值,即得小球的半徑.
解答:解:設(shè)半徑為3的兩個球的球心分別為A、B,半徑為2的兩個球的球心分別為C、D,
與它們都相切的小球球心為O,半徑為r
如圖,連接AB、BC、CD、DA、AC、BD,得四棱錐D-ABCD
得AB=6,CD=4,AD=AC=BD=BC=5
連接OA、OB、OC、OD,取AB、CD中點F、G,連接OF、OG
∵等腰△ABC中,CA=CB=5,AF=BF=3
∴CF=
52-32
=4,同理可得DF=4
由此可得△CDF中,DF=CF,結(jié)合CG=DG,
連接FG,得FG是等腰△CDF底邊中線,所以FG⊥CD
同理可得FG⊥AB,所以FG是異面直線AB、CD的公垂線段,
∵OA=OB=3+r,OD=OC=2+r,F(xiàn)、G分別是AB、CD的中點
∴點O在線段FG上,即F、O、G三點共線
∵Rt△AOF中,AF=3,OA=3+r,∴OF=
OA2-AF2
=
(r+3)2-9

同理可得:OG=
(r+2)2-4
,
∵Rt△CFG中,F(xiàn)G=
CF2-CG2
=2
3

∴OF+OG=FG,即
(r+3)2-9
+
(r+2)2-4
=2
3
,解之得r=
6
11
(舍負(fù))
故選:C
點評:本題給出一個小球與另外四個球都相切,在已知四個大球半徑的情況下求小球半徑,著重考查了空間直線垂直的判定和球的外切等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知空間4個球,它們的半徑均為2,每個球都與其他三個球外切,另有一個小球與這4個球都外切,則這個小球的半徑為(      )

A.      B.       C.   D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年吉林省長春市畢業(yè)班第四次調(diào)研測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知空間4個球,它們的半徑分別為2, 2, 3, 3,每個球都與其他三個球外切,另有一個小球與這4個球都外切,則這個小球的半徑為(     )

A.                              B.               C.              D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年吉林省長春市畢業(yè)班第四次調(diào)研測試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知空間4個球,它們的半徑均為2,每個球都與其他三個球外切,另有一個小球與這4個球都外切,則這個小球的半徑為(     )

A.                     B.                 C.                      D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年遼寧省鞍山一中高考數(shù)學(xué)五模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知空間4個球,它們的半徑分別為2,2,3,3,每個球都與其他三個球外切,另有一個小球與這4個球都外切,則這個小球的半徑為( )
A.
B.
C.
D.

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