Question

15．在△ABC中，|$\overrightarrow{BC}$|=4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點，且|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，則頂點A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由圖可知∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，即點A的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支（y≠0），頂點A的軌跡方程可求．

解答 解：如圖，
設E、F分別為圓與AB、AC的兩個切點，
則|BE|=|BD|，|CD|=|CF|，
又|AE|=|AF|，
∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，
∴點A的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支（y≠0），
且a=$\sqrt{2}$，c=2，
∴b=$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了雙曲線的定義與平面幾何知識在求解圓錐曲線問題中的應用問題，是綜合題．