Question

5．用坐標(biāo)法證明：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和．

Answer 1

分析 以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可證明．

解答 證明：如圖，以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0）．
設(shè)B（a，0），D（b，c），由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a+b，c），
因?yàn)閨AB|²=a²，|CD|²=a²，|AD|²=b²+c²，|BC|²=b²+c²，|AC|²=（a+b）²+c²，|BD|²=（b-a）²+c²，
所以|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=2（a²+b²+c²），
|AC|²+|BD|²=2（a²+b²+c²）．
所以|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=|AC|²+|BD|²．
因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和．

點(diǎn)評(píng) 本題考查坐標(biāo)法的運(yùn)用，考查兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題．