Question

9．已知橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（0，1），且離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓方程；
（2）過原點的直線交橢圓于B，C兩點，A（1，$\frac{1}{2}$），求△ABC面積最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意知，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²-c²=1，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設直線l的方程與橢圓C聯立，C（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用弦長公式求出CB，A到CB的距離，然后求解三角形的面積，求出最大值即可．

解答 解：（1）由題意知，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²-c²=1，…（4分）
解得a=2，
所以橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（6分）
（2）由題意知，直線l的斜率存在時，直線l：y=kx．
設直線l與橢圓交于C（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得可得 （4k²+1）x²-4=0，x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{-4}{1+4{k}^{2}}$．
|CB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}×\frac{4}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
A到CB 的距離為：d=$\frac{|k-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△ABC面積s=$\frac{1}{2}×$|CB|×d=$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-4k+1}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{1-\frac{4k}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{1-\frac{4}{4k+\frac{1}{k}}}$．
∵k+$\frac{1}{k}$≥2或k+$\frac{1}{k}$≤-2，當且僅當k=$±\frac{1}{2}$時取等號．
所以當k=-$\frac{1}{2}$時，△ABC面積最大值2．

點評 題考查橢圓的方程和運用，考查直線方程和橢圓方程聯立，消去未知數，運用韋達定理和弦長公式，考查點到直線的距離公式和基本不等式的運用，屬于中檔題．