Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且短軸長為2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知分別為橢圓的左右頂點， ,，且,直線與分別與橢圓交于兩點，

（i）用表示點的縱坐標(biāo)；

（ii）若面積是面積的5倍，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由b=2, ,可求得標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）設(shè)直線方程與橢圓方程組方程組，可解得交點坐標(biāo)E,F。三角形面積公式用，面積比轉(zhuǎn)化為線段比，再轉(zhuǎn)化為y坐標(biāo)的比。

試題解析：（1）由題意知，解得，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： .

（2）（i） ， ， ，且 ，

直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，

直線 的方程為 ，直線 的方程為 ，

由 得 ，

點E的縱坐標(biāo) ，

由 得 ，

，

（ii）， ， ， ， ， ，

，即，解得