Question

如圖，與拋物線C₁：y=x²相切于點P（a，a²）的直線l與拋物線C₂：y=-x²相交于A，B兩點，拋物線C₂在A，B處的切線相交于點Q．
（1）求證：點Q在拋物線C₁上；
（2）若∠QAB是直角，求實數a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由導數的幾何意義可求直線l的方程為y-a²=2a（x-a），由方程，消去y可得x²+2ax-a²=0可求，結合導數可求切線QA、QB的方程，從而可求Q，可證
（II）若∠QAB=90°，則?，結合方程的根與系數的關系及a（x₂-x₁）始終為負值，代入可求a
解法二：若∠QAB=90°，則?整理可得，，由x₁+x₂=-2a，消去x₂得，由于x₁與a同號可求x₁，進而可求a
解答：證明：（I）∵y′=2x
∴y′|_x=a=2a，直線l的方程為y-a²=2a（x-a）（2分）
令A（），B（），由方程，消去y可得x²+2ax-a²=0
∴（4分）
∵y′|x=x₁=-2x₁，
∴切線QA的方程（1）
切線QB的方程（2）
（1）（2）聯(lián)立可得即Q （-a，a²）
∴點Q在拋物線C₁上（7分）
（II）若∠QAB=90°，則
∴
∴+a⁴-a²=0（11分）
∵=8a⁴
由于a（x₂-x₁）始終為負值
∴（13分）
∴
∴（15分）
解法二：若∠QAB=90°，則
∴
整理可得，（1）（11分）
∴x₁+x₂=-2a，消去x₂得，解得
由于x₁與a同號∴  （2）（13分）
把（2）代入（1）可得，（12-8）a²=
∴（15分）
點評：本題主要考查了利用導數的幾何意義求解曲線在某點的切線方程，直線與曲線的位置關系的應用，向量的數量積的坐標表示及方程的根與系數關系的應用，屬于綜合試題