如圖,與拋物線C1:y=x2相切于點P(a,a2)的直線l與拋物線C2:y=-x2相交于A,B兩點,拋物線C2在A,B處的切線相交于點Q.
(1)求證:點Q在拋物線C1上;
(2)若∠QAB是直角,求實數(shù)a的值.

【答案】分析:(I)由導數(shù)的幾何意義可求直線l的方程為y-a2=2a(x-a),由方程,消去y可得x2+2ax-a2=0可求,結合導數(shù)可求切線QA、QB的方程,從而可求Q,可證
(II)若∠QAB=90°,則?,結合方程的根與系數(shù)的關系及a(x2-x1)始終為負值,代入可求a
解法二:若∠QAB=90°,則?整理可得,,由x1+x2=-2a,消去x2,由于x1與a同號可求x1,進而可求a
解答:證明:(I)∵y′=2x
∴y′|x=a=2a,直線l的方程為y-a2=2a(x-a)(2分)
令A(),B(),由方程,消去y可得x2+2ax-a2=0
(4分)
∵y′|x=x1=-2x1,
∴切線QA的方程(1)
切線QB的方程(2)
(1)(2)聯(lián)立可得即Q (-a,a2
∴點Q在拋物線C1上(7分)
(II)若∠QAB=90°,則

+a4-a2=0(11分)
=8a4
由于a(x2-x1)始終為負值
(13分)

(15分)
解法二:若∠QAB=90°,則

整理可得,(1)(11分)
∴x1+x2=-2a,消去x2,解得
由于x1與a同號∴  (2)(13分)
把(2)代入(1)可得,(12-8)a2=
(15分)
點評:本題主要考查了利用導數(shù)的幾何意義求解曲線在某點的切線方程,直線與曲線的位置關系的應用,向量的數(shù)量積的坐標表示及方程的根與系數(shù)關系的應用,屬于綜合試題
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,設拋物線C1:y2=4mx(m>0)的準線與x軸交地F1,焦點為F2,以F1、F2為焦點,離心率e=
12
的橢圓C2與拋物線C2在x軸上方的交點為P.
(1)當m=1時,求橢圓C2的方程;
(2)延長PF2交拋物線于點Q,M是拋物線C1上一動點,且M在P與Q之間運動,當△PF1F2的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時,求△MPQ面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,設拋物線C1:y2=4mx(m>0)的準線與x軸交于F1,焦點為F2;以F1,F(xiàn)2為焦點,離心率e=
12
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的交點為P,延長PF2交拋物線于點Q,M是拋物線C1上一動點,且M在P與Q之間運動.
(1)當m=1時,求橢圓C2的方程;
(2)當△PF1F2的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時,求△MPQ面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•溫州二模)如圖,與拋物線C1:y=x2相切于點P(a,a2)的直線l與拋物線C2:y=-x2相交于A,B兩點,拋物線C2在A,B處的切線相交于點Q.
(1)求證:點Q在拋物線C1上;
(2)若∠QAB是直角,求實數(shù)a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2011年浙江省溫州市高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,與拋物線C1:y=x2相切于點P(a,a2)的直線l與拋物線C2:y=-x2相交于A,B兩點,拋物線C2在A,B處的切線相交于點Q.
(1)求證:點Q在拋物線C1上;
(2)若∠QAB是直角,求實數(shù)a的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案