Question

5．1950～1958年我國的人口數(shù)據(jù)資料：

年份 x	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
人數(shù) Y/萬人	55 196	56 300	57 482	58 796	60 266	61 560	62 828	64 563	65 994

求 y 關(guān)于 x 的非線性回歸方程．

Answer 1

分析 利用變換的方法，結(jié)合線性回歸方程，求 y 關(guān)于 x 的非線性回歸方程．

解答 解：根據(jù)收集數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖．

根據(jù)已有函數(shù)知識，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)周圍，y=c ₁e ^c₂^x（其中 c ₁，c ₂是待定參數(shù)）．
令 z=ln y，則有 y=e ^z，
∴e ^z=e ^lnc₁+c ₂^x．
z=c ₂x+ln c ₁=bx+a，
變換后：

x	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
z=ln y	10.92	10.94	10.96	10.98	11.01	11.03	11.05	11.08	11.09

由散點(diǎn)圖可知，x 與 z 線性相關(guān)，故采用一元線性回歸模型，由表中數(shù)算得：
$\overline{x}$=1 954，L _xz=1.23，$\overline{z}$=11.01，L _xx=60．
∴b=$\frac{1.23}{60}$≈0.021．
a=$\overline{z}$-b $\overline{x}$=-30.02．
∴z=a+bx=0.021 x-30.02，
即ln y=0.021 x-30.02．
∴y=e ^0.021x-30.02．
因此，所求非線性回歸方程為 y=e ^0.021x-30.02．

點(diǎn)評 本題考查回歸方程，考查換元方法的運(yùn)用，屬于中檔題．