Question

12．已知多面體ABCDEF如圖所示，其中ABCD為矩形，△DAE為等腰等腰三角形，DA⊥AE，四邊形AEFB為梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．
（1）若G為線段DF的中點，求證：EG∥平面ABCD；
（2）線段DF上是否存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$？若存在，請指出點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）以B為原點，BA，BF，BC分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面ABCD的一個法向量，通過$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow n=（-1，0，\frac{1}{2}）•（0，1，0）=0$，推出$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow n$，即可證明EG∥平面ABCD．
（2）當點N與點D重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．理由如下：直線BN與平面FCD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$，即直線BN與平面FCD所成角的正弦值為$\frac{2}{5}$，求出平面FCD的法向量，設(shè)線段FD上存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$，設(shè)$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}（0≤λ≤1）$，通過向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解λ，推出當N點與D點重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．

解答 解：（1）證明：因為DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，
故CB⊥平面ABFE，以B為原點，BA，BF，BC分別為x軸，y軸，z軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則F（0，2，0），D（2，0，1），$G（1，1，\frac{1}{2}）$，E（2，1，0），C（0，0，1），所以$\overrightarrow{EG}=（-1，0，\frac{1}{2}）$，易知平面ABCD的一個法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，所以$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow n=（-1，0，\frac{1}{2}）•（0，1，0）=0$，所以$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow n$，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．
（2）當點N與點D重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．理由如下：
直線BN與平面FCD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$，即直線BN與平面FCD所成角的正弦值為$\frac{2}{5}$，因為$\overrightarrow{FD}=（2，-2，1），\overrightarrow{CD}=（2，0，0）$，設(shè)平面FCD的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FD}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2{x_1}-2{y_1}+{z_1}=0\\ 2{x_1}=0\end{array}\right.$，取y₁=1得平面FCD的一個法向量$\overrightarrow{n_1}=（0，1，2）$
假設(shè)線段FD上存在一點N，使得直線BN與平面FCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$，
設(shè)$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}（0≤λ≤1）$，則$\overrightarrow{FN}=λ（2，-2，1）=（2λ，-2λ，λ）$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FN}=（2λ，2-2λ，λ）$，
所以$sinα=cos＜\overrightarrow{BN}，\overrightarrow{n_1}＞=\frac{{\overrightarrow{|BN}•\overrightarrow{n_1}|}}{{|\overrightarrow{BN}||\overrightarrow{n_1}|}}=\frac{2}{{\sqrt{5}•\sqrt{{{（2λ）}^2}+{{（2-2λ）}^2}+{λ^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}•\sqrt{9{λ^2}-8λ+4}}}=\frac{2}{5}$，
所以9λ²-8λ-1=0，解得λ=1或$λ=-\frac{1}{9}$（舍去）
因此，線段DF上存在一點N，當N點與D點重合時，直線BN與平面FCD所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．

點評 本題考查空間向量的應(yīng)用，直線與平面平行以及直線與平面所成角的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．