Question

6．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，△F₁PF₂的內(nèi)切圓半徑r=2a，則雙曲線的離心率e=5．

Answer 1

分析 可設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，由雙曲線的定義和勾股定理，可得|PF₁|•|PF₂|=2b²，得到|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}+4^{2}}$，由等積法和離心率公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求值．

解答 解：可設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，①
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得PF₁⊥PF₂，
由勾股定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，②
②-①²，可得2|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²=4b²，
即有|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{4{c}^{2}+4^{2}}$，
由三角形的面積公式可得$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，
即為2a（$\sqrt{4{c}^{2}+4^{2}}$+2c）=2b²，
即有c+2a=$\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$，兩邊平方可得
c²+4a²+4ac=c²+b²=c²+c²-a²，
即c²-4ac-5a²=0，解得c=5a（c=-a舍去），
即有e=$\frac{c}{a}$=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和勾股定理，以及三角形的面積公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．