Question

函數(shù)ax²+ax+1＞0在x∈[1，2]恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：討論a和0的關(guān)系，即：a=0，a＞0，a＜0：a=0時(shí)，顯然符合已知條件；a＞0時(shí)，二次函數(shù)圖象ax²+ax+1開口向上，可通過判斷該函數(shù)在[1，2]上的單調(diào)性求出該函數(shù)在該區(qū)間上的最小值，讓最小值大于0，便可求得a的取值范圍；對(duì)于a＜0時(shí)，求a的取值范圍的過程同a＞0時(shí)的一樣，這三種情況求得的a的取值范圍求并集即可得到a的取值范圍．

解答： 解：①a=0時(shí)，1＞0，滿足在x∈[1，2]上恒成立；
②a＞0時(shí)，函數(shù)ax²+ax+1的對(duì)稱軸是x=-

1

2

；
∴該函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增；
∴x=1時(shí)，該函數(shù)取最小值2a+1，則：2a+1＞0，a＞-

1

2

；
∴a＞0；
③a＜0時(shí)，函數(shù)ax²+ax+1在[1，2]上單調(diào)遞減；
∴x=2時(shí)，該函數(shù)取最小值6a+1，則：6a+1＞0，a＞-

1

6

；
∴-

1

6

＜a＜0；
綜上得a的取值范圍為(-

1

6

，+∞)．
故答案為：(-

1

6

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸及二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值．