Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n-1
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（II）求數(shù)列{S_n•${a}_{n}^{n}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系即可得出．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2n-1，∴n=1時(shí)，a₁=S₁=1．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1-[2（n-1）-1]=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）S_n•${a}_{n}^{n}$=（2n-1）•2ⁿ．
∴數(shù)列{S_n•${a}_{n}^{n}$}的前n項(xiàng)和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．