Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，

1

2

an+1-

1

2

an=2(cos2

π

6

-sin2

π

6

)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=an•3n+n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式對(duì)已知

1

2

an+1-

1

2

an=2(cos2

π

6

-sin2

π

6

)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解
（2）由題意可得，bn=an•3n+n=2n•3ⁿ+n，然后利用分組求和及錯(cuò)位相減求和方法即可求解

解答：解：（1）∵a₁=2，

1

2

an+1-

1

2

an=2(cos2

π

6

-sin2

π

6

)=2cos

1

3

π=1
∴a_n+1-a_n=2
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差 數(shù)列
∴a_n=2+2（n-1）=2n
（2）∵bn=an•3n+n=2n•3ⁿ+n
∴T_n=2（1•3+2•3²+…+n•3ⁿ）+（1+2+…+n）
∴3T_n=2（      1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹）+3（1+2+…+n）
兩式相減可得，-2T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹）-2•

n(1+n)

2

=2•

3(1-3n)

1-3

-n(n+1)
=3ⁿ⁺¹-3-n（n+1）
∴T_n=

n(n+1)+3-3n+1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式及分組求和、錯(cuò)位相減求和方法的綜合應(yīng)用．