Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

(k+1)

2

x2，g(x)=

1

3

-kx且f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意f′（x）=x²-（k+1）x，
因?yàn)閒（x）在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′（x）=x²-（k+1）x≥0在（2，+∞）上恒成立，即k+1≤x恒成立，
又x＞2，所以k+1≤2，故k≤1，
當(dāng)k=1時，f′（x）=x²-2x=（x-1）²-1在x∈（2，+∞）恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上單增，符合題意．
所以k的取值范圍為k≤1．
（2）設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-

(k+1)

2

x2+kx-

1

3

，
h′（x）=x²-（k+1）x+k=（x-k）（x-1），
令h′（x）=0得x=k或x=1，由（1）知k≤1，
①當(dāng)k=1時，h′（x）=（x-1）²≥0，h（x）在R上遞增，顯然不合題意；
②當(dāng)k＜1時，h（x），h′（x）隨x的變化情況如下表：


由于

k-1

2

＞0，欲使f（x）與g（x）圖象有三個不同的交點(diǎn)，
即方程f（x）=g（x），也即h（x）=0有三個不同的實(shí)根．
故需-

k3

6

+

k2

2

-

1

3

＞0即（k-1）（k²-2k-2）＜0，
所以

k＜1 k2-2k-2＞0

，解得k＜1-

3

．
綜上，所求k的范圍為k＜1-

3

．