已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=(lga1+lga2+…+lgan)(n∈N*),記Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).

(1)若數(shù)列{an}的首項a1=1 000,公比q=,求數(shù)列{bn}的通項公式.

(2)在(1)的條件下,求Sn的最大值.

(3)是否存在實數(shù)k,使得對于任意的正整數(shù)n恒成立?若存在,請求出實數(shù)k的值;若不存在,請說明理由.

(1)解析：an=a1qn-1=1 000×()n-1=104-n,

bn=(lga1+lga2+…+lgan)?

=lg(a1·a2·…·an)?

=lg10［3+2+1+…+(4-n)］???

=lg10=··lg10=.?

故數(shù)列{bn}的通項公式為bn=(n∈N*).?

(2)Sn=b1+b2+…+bn?

=

=

=?-n2+n,?

利用二次函數(shù)的性質,并結合n∈N*,知當n=6或n=7時,(Sn)max=.?

(3)∵=·

=()·

=(),?

∴條件等式左邊=［(-)＋（)+…+()］

= (-)=·??

=·

=·=.?

由條件知存在k=-1使=恒成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義一個“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的積都是同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，則這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為：
 
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有an•an+1•an+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=3，公積為27，則a1+a2+a3+…+a18=
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一個項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那末這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，Tn為數(shù)列{an}前n項的積，則T2011=
51006
2
51006
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我們對數(shù)列作如下定義，如果?n∈N*，都有anan+1an+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=2，公積為6，則a1+a2+a3+…+a9=
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列的定義為：在一個數(shù)列中，從第二項起，如果每一項與它的前一項的差都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公差．
（1）類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義；
（2）已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，求 a18的值，并猜出這個數(shù)列的通項公式（不要求證明）．

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