Question

設A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上兩點，O是坐標原點，且∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若點Q的坐標是 （m，），求cos（）的值；
（Ⅱ）設函數(shù)，求f（a）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意和平方關系求出m的值，即由三角函數(shù)的定義求出α的正弦和余弦值，代入兩角差的余弦公式進行求解；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出和的坐標，由數(shù)量積的坐標表示求出函數(shù)的解析式，利用兩角和的正弦公式進行化簡，根據(jù)角α的范圍求出的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域．
解答：解：（Ⅰ）∵∠AOQ=α，Q是單位圓上兩點，O是坐標原點，且Q（m，），
∴sinα=，m=cosα=，
∴cos（）=cosαcos+sinαsin=，
（Ⅱ）由題意知，=（，），=（cosα，sinα），
∴=cosα+sinα=cosα+sinα=sin（），
∵0≤α＜π，∴≤＜，∴-＜sin（）≤1，
故f（a）的值域是（-，1]．
點評：本題考查了三角函數(shù)求值和三角函數(shù)的值域，利用整體代入是常用的技巧，這里要分析已知和要求的結論之間的角的關系和三角函數(shù)名稱之間的關系，需要利用三角函數(shù)的定義求出向量的坐標，是向量和三角函數(shù)結合的題目．