Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}，{a_1}=2，{a_{n+1}}-{S_n}=2（{n∈{N^*}}）$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）首先利用S_n與a_n的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1；結(jié)合已知條件等式推出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）首先結(jié)合（1）求得b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，然后利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為${S_n}，{a_1}=2，{a_{n+1}}-{S_n}=2（{n∈{N^*}}）$，
可得a_n-S_n-1=2，n≥2，
相減可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
即為a_n+1=2a_n，
由a₂-S₁=2，即為a₂-a₁=2，可得a₂=4，
a_n+1=2a_n，對(duì)n為一切正整數(shù)均成立，
則數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，
則a_n=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
所以前n項(xiàng)和T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•24³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1；考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．