Question

已知

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ 和cosθ的值；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+2sinx的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用向量垂直，數(shù)量積為0，得到sinθ和cosθ的關(guān)系式，結(jié)合平方關(guān)系；
（2）將f（x）化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合sinx的有界性以及二次函數(shù)閉區(qū)間的最值求法解答．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinθ，-2）與

b

=（1，cosθ）互相垂直，所以

a

•

b

=0，即sinθ=2cosθ，
代入sin²θ+cos²θ=1 得sinθ=±

2 5

5

，cosθ=±

5

5

，
又θ∈（0，

π

2

）．
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ

5

5

．
（2）f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

，
x∈R，∴sinx∈[-1，1]，當(dāng)sinx=

1

2

，f（x） 有最大值

3

2

；當(dāng)sinx=-1，f（x） 有最小值-3．所以，值域?yàn)閇-3，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直的運(yùn)用以及三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的最值求法問(wèn)題；關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的有界性以及二次函數(shù)閉區(qū)間的最值解答．