Question

7．為研究男女同學空間想象能力的差異，孫老師從高一年級隨機選取了20名男生、20名女生，進行空間圖形識別測試，得到成績莖葉圖如下，假定成績大于等于80分的同學為“空間想象能力突出”，低于80分的同學為“空間想象能力正�！保�
（1）完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“空間想象能力突出”與性別有關；

	空間想象能力突出	空間想象能力正常	合計
男生
女生
合計

（2）從“空間想象能力突出”的同學中隨機選取男生2名、女生2名，記其中成績超過90分的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．
下面公式及臨界值表僅供參考：${X^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（X2≥k）	0.100	0.050	0.010
k	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）2×2列聯(lián)表如下，再利用X²計算公式可得結論．
（2）利用互斥事件、獨立事件的概率計算公式可得ξ的分布列及其數(shù)學期望計算公式．

解答 解：（1）2×2列聯(lián)表如下：

	空間想象能力突出	空間想象能力正常	合計
男生	7	13	20
女生	4	16	20
合計	11	29	40

由公式${X^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，計算得X²≈1.129，
因為X²＜2.706，所以沒有90%的把握認為“空間想象能力突出”與性別有關；
（2）$P（ξ=0）=\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{21}$，$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}+\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}=\frac{2}{7}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}+\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×$$\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}+\frac{C_4^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{19}{42}$，$P（ξ=3）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2C_2^1}{C_4^2}+\frac{C_3^1C_4^1}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{4}{21}$，$P（ξ=4）=\frac{C_3^2}{C_7^2}×\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{42}$，
所以ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{19}{42}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{1}{42}$

數(shù)學期望是：$Eξ=0×\frac{1}{21}+1×\frac{2}{7}+2×\frac{19}{42}+$$3×\frac{4}{21}+4×\frac{1}{42}=\frac{13}{7}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗原理、互斥事件、獨立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．