Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點．
（1）求異面直線BD₁與CE所成角的余弦值；
（2）求二面角A₁-EC-A的余弦值．

Answer 1

以D為原點，DC為y軸，DA為x軸，DD₁為Z軸建立空間直角坐標系，…（1分）
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），E(1，

1

2

，0)，…（2分）
（1）

BD1

=(-1，-1，1)，

CE

=(1，-

1

2

，0)…（1分）
cos＜

BD1

，

CE

＞=-

15

15

，…（1分）
所以所求角的余弦值為

15

15

…（1分）
（2）D₁D⊥平面AEC，所以

D1D

為平面AEC的法向量，

D1D

=(0，0，1)…（1分）
設平面A₁EC法向量為

n

=(x，y，z)，又

A1E

=(0，

1

2

，-1)，

A1C

=(-1，1，-1)，

n • A1E =0 n • A1C =0

即

1 2 y-z=0 -x+y-z=0

，取

n

=(1，2，1)，…（3分）
所以cos＜

DD1

，

n

＞=

6

6

…（2分）