Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x+a，x∈[-2，3]．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）的區(qū)間[-2，3]上是單調函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當a=-2時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-3，再利用二次函數(shù)的性質求得函數(shù)在[-2，3]上的最值．
（2）根據(jù)y=f（x）的對稱軸為x=-a-1，且在區(qū)間[-2，3]上是單調函數(shù)，可得-a-1≤-2，或-a-1≥3，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）當a=-1時，函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x+a=x² -2x-2=（x-1）²-3，
再由x∈[-2，3]，可得當x=1時，函數(shù)取得最小值為-3，
當x=-2時，函數(shù)取得最大值為6．
（2）∵函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x+a=（x+a+1）²-1-a-a² 的對稱軸為x=-a-1，
且在區(qū)間[-2，3]上是單調函數(shù)，
可得-a-1≤-2，或-a-1≥3．
解得a≥1，或 a≤-4，
故a的范圍為（-∞，-4]∪[1，+∞）．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．