Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜3）的最小值為2．
（1）解關(guān)于x的方程f（x）=a；
（2）若存在x∈R，使f（x）-mx≤1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義可得|a-4|=2，可的a=2，即|x-4|+|x-2|=2，由此可得x的范圍．
（2）由題意可得f（x）≤mx+1 能成立，及 2≤mx+1 能成立，即mx≥1 能成立，由此可得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜3）表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4和a對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
它的最小值為|a-4|=2，∴a=2．
關(guān)于x的方程f（x）=a，即|x-4|+|x-2|=2．
再根據(jù)|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-2）|=2，當(dāng)且僅當(dāng)2≤x≤4時(shí)取等號(hào)，
可得方程f（x）=a的解為2≤x≤4．
（2）存在x∈R，使f（x）-mx≤1成立，即f（x）≤mx+1 能成立．
由于函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜3）的最小值為2，故2≤mx+1 能成立．
即mx≥1能成立，故m≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．