Question

設f（x）=

1

3

x³+ax²+5x+6在區(qū)間[1，3]上為單調遞減函數，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A、（-∞，-

  5

  ]
• B、（-∞，-3]
• C、（-∞，-3]∪[-

  5

  ，+∞）
• D、（-

  5

  ，

  5

  ]

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：求導函數，f（x）在[1，3]上為單調函數，則f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分離參數法，借助于導數，確定函數的最值，即可求實數a的取值范圍．

解答： 解：求導數可得：f′（x）=x²+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上為單調遞減函數，
∴f′（x）≤0，
即x²+2ax+5≤0在[1，3]恒成立，
∴a≤-

x2+5

2x

在[1，3]恒成立，
設g（x）=-

x2+5

2x

，則g′（x）=

5-x2

2x2

，
令g′（x）=0得：x=

5

或x=-

5

（舍去）
∴當1≤x≤

5

時，g′（x）≥0，當

5

≤x≤3時，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，

5

）上遞增，在（

5

，3）上遞減，
∵g（1）=-3 g（3）=-

7

3

，
∴最小值為g（1）=-3
∴當f′（x）≤0時，a≤g（x）≤g（1）=-3
∴a≤-3，
故選：B．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，分離參數，求函數的最值是關鍵．