Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且a₁=1，當(dāng)n≥2時，都有a_n=a_n-1+2n-1，記Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

．
（Ⅰ）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：T_n＜2；
（Ⅲ）令bn=1-

1

an+1

，B_n=b₁b₂…b_n，試比較

n

3n-1

與B_n的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，利用a_n=a_n-1+2n-1，寫出a₂-a₁=2×2-1，a₃-a₂=2×3-1，…a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加，可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先放縮，再裂項求和，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）先計算當(dāng)n=1時，

n

3n-1

=1＞

3

4

=Bn；當(dāng)n=2時，

n

3n-1

=

2

3

=Bn；當(dāng)n=3時，

n

3n-1

=

1

3

＜

5

8

=Bn；
猜想當(dāng)n≥3時，

n

3n-1

＜Bn，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)n≥2時，∵a_n=a_n-1+2n-1，
∴a₂-a₁=2×2-1
a₃-a₂=2×3-1
…
a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加得a_n-a₁=2（2+3+…+n）-（n-1），
∴a_n-a₁=2×

(n-1)(2+n)

2

-(n-1)
∴an=n2．
又當(dāng)n=1時，a₁=1滿足上式，故an=n2．
（Ⅱ）證明：Tn=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2．
（Ⅲ）解：bn=1-

1

(n+1)2

=

n(n+2)

(n+1)2

，Bn=

1×3

22

•

2×4

32

•

3×5

42

…

n(n+2)

(n+1)2

=

n+2

2(n+1)

，
當(dāng)n=1時，

n

3n-1

=1＞

3

4

=Bn；
當(dāng)n=2時，

n

3n-1

=

2

3

=Bn；
當(dāng)n=3時，

n

3n-1

=

1

3

＜

5

8

=Bn；
猜想當(dāng)n≥3時，

n

3n-1

＜Bn．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=3時，左邊=

n

3n-1

=

1

3

＜

5

8

=Bn=右邊，命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時，

k

3k-1

＜Bk=

k+2

2(k+1)

，即

k+1

3k-1

＜

k+2

2k

．
當(dāng)n=k+1時，

k+1

3k

=

1

3

•

k+1

3k-1

＜

1

3

•

k+2

2k

＜

k+3

6k

=

k+3

2(k+2k)

＜

k+3

2(k+2)

=Bk+1，命題成立．
故當(dāng)n≥3時，

n

3n-1

＜Bn．
綜上所述，當(dāng)n=1時，

n

3n-1

＞Bn，
當(dāng)n=2時，

n

3n-1

=Bn，
當(dāng)n≥3時，

n

3n-1

＜Bn．

點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項公式，考查不等式的證明，同時考查裂項法，數(shù)學(xué)歸納法的運用，先猜后證是關(guān)鍵．