Question

5．如圖，在△ABC中，已知P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．
（1）若$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，求x，y的值；
（2）若$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°，求$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由于P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．利用向量共線(xiàn)定理可得：x+y=1，由于$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，因此x=y，即可解出．
（2）由$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，可得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=$3（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）$，化為$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$．由于|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．于是$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AB}$=$（\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}）$•$（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$，展開(kāi)代入即可得出．

解答 解：（1）∵P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．
∴x+y=1，
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，∴P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
∴x=y=$\frac{1}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=$3（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）$，化為$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$．
∵|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=4×2×cos60°=4．
∴$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AB}$=$（\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}）$•$（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$\frac{3}{4}{\overrightarrow{OB}}^{2}$-$\frac{1}{4}{\overrightarrow{OA}}^{2}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{4}×{2}^{2}$-$\frac{1}{4}×{4}^{2}$-$\frac{1}{2}×4$=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量三角形法則、向量共線(xiàn)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．