已知函數(shù)
.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)當時,不等式
恒成立,求
的范圍.
(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間
,遞增區(qū)間
,極小值為
,無極大值;(Ⅱ)
的范圍是
.
解析試題分析:(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值,研究單調(diào)性和極值問題,往往與導(dǎo)數(shù)有關(guān),特別是極值,只能利用導(dǎo)數(shù)求得,故先對
求導(dǎo),得
,令
,解得
,從而得遞增區(qū)間,同樣方法可得遞減區(qū)間為
,進而得極值;(Ⅱ)當
時,不等式
恒成立,求
的范圍,屬于恒成立問題,解這一類題,常常采用含有參數(shù)
的放到不等式的一邊,不含參數(shù)
(即含
)的放到不等式的另一邊,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,故原不等式可化為
,只需求出
在
上的最大值即可,因含有
,可通過求導(dǎo)來求,令
可得
,
,得
,故
最大,最大值為
,從而得
的范圍.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間
,遞增區(qū)間
.極小值為
,無極大值;
(Ⅱ)原不等式可化為:,令
可得
,令
,可得
在
上恒小于等于零,所以函數(shù)g(x)=
在(0,1)上遞增,在(1,+
)遞減,所以函數(shù)g(x)在
上有最大值g(1)=2-e,所求
的范圍是
考點:函數(shù)與導(dǎo)數(shù),函數(shù)極值,單調(diào)區(qū)間,導(dǎo)數(shù)與不等式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中
,
.
(Ⅰ)若的最小值為
,試判斷函數(shù)
的零點個數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)的極小值大于零,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)和
是函數(shù)
的兩個極值點,其中
,
.
(Ⅰ) 求的取值范圍;
(Ⅱ) 若,求
的最大值(e是自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某出版社新出版一本高考復(fù)習用書,該書的成本為5元/本,經(jīng)銷過程中每本書需付給代理商m元(1≤m≤3)的勞務(wù)費,經(jīng)出版社研究決定,新書投放市場后定價為元/本(9≤
≤11),預(yù)計一年的銷售量為
萬本.
(1)求該出版社一年的利潤(萬元)與每本書的定價
的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當每本書的定價為多少元時,該出版社一年的利潤最大,并求出
的最大值
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(1)若對任意的實數(shù),函數(shù)
與
的圖象在
處的切線斜率總相等,求
的值;
(2)若,對任意
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=alnx+(a≠0)在(0,
)內(nèi)有極值.
(I)求實數(shù)a的取值范圍;
(II)若x1∈(0,),x2∈(2,+∞)且a∈[
,2]時,求證:f(x1)﹣f(x2)≥ln2+
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II) 若關(guān)于的方程
在區(qū)間
內(nèi)恰有兩個不同的實根,求實數(shù)
的取值范圍.
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