Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=1（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式求得數(shù)列的首項(xiàng)并求出等比數(shù)列的公比，然后代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案；
（2）把an=(

1

2

)n代入b_n+1=b_n+a_n，然后利用累加法結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）由a_n+S_n=1，得a₁+S₁=2a₁=1，a1=

1

2

；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=1，
兩式作差得：a_n-a_n-1+a_n=0，即

an

an-1

=

1

2

（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴an=(

1

2

)n；
（2）把an=(

1

2

)n代入b_n+1=b_n+a_n，得
b_n+1=b_n+(

1

2

)n．
則b2=b1+

1

2

，
b3=b2+(

1

2

)2，
…
bn=bn-1+(

1

2

)n-1（n≥2）．
累加得：bn=b1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

（n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)上式成立．
∴bn=2-

1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．